La relatividad de la información: Un ejemplo

blog_090906En una entrevista en La Contra de La Vanguardia, Jaume Pagés propone un problema que ilustra, muy bien para mi particular gusto, lo poca utilidad de intercambiar información cuando hay carencias de conocimiento.

El enunciado del problema, un clásico publicado hacia 1969, es el siguiente (*):

“Dos matemáticos, Mr. S y Mrs. P, quieren averiguar dos números enteros positivos menores que 100 de los que S sabe la suma y P el producto. Mrs. P le dice a Mr. S: “Yo no los puedo saber”; Mr. S responde: “Ya sé que no los puedes saber”; Mrs. P contesta entonces: “¡Ah!, pues ahora ya los sé”, tras lo que Mr. S concluye: “Pues ahora yo también”.

La clave de la cuestión es que los dos matemáticos intercambian en su diálogo mucha más información de la que parece; pero es una información que sólo sirve a los que, como ellos, tienen un mínimo conocimiento de Matemáticas.

La primera clave está en la afirmación de Mr. S (“Ya sé que no los puedes saber“). El único modo en que Mrs. P podría averiguar de entrada los dos números (X e Y tales que P=X*Y) sería si ambos fueran primos. La información que Mr. S le transmite es que en ninguna de las combinaciones que satisfacen S=X+Y son X e Y primos.

Con esta información, y conociendo la conjetura de Golblach (que afirma que todo número par puede descomponerse en la suma de dos números primos), Mrs. P deduce:

  • Que S es un número impar.
  • Que no existe ningún número primo Z tal que S=Z+2 (porque 2 es también un número primo).

Lo cual le sirve para deducir la lista de posibles S: (S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, …).

A partir de ahí, el modo más corto de hacer verosímil el diálogo es anticipar la información de la que dispone cada interlocutor. Como Mrs. P sabe que el producto de X e Y es igual a 52, deduce que sólo hay dos posibilidades válidas (X=2, Y=26, S= 28; X=4, Y=13, S=17). Sólo la primera es compatible con las deducciones anteriores, por lo que está en condiciones de anunciar a S que ya tiene la solución.

Mr. S, que conoce que la suma de X e Y es igual a 17, hace una lista de posibilidades:

  • X=2, Y=15, P=30
  • X=3, Y=14, P=42
  • X=4, Y=13, P=52
  • X=5, Y=12, P=60
  • X=6, Y=11, P=66
  • X=7, Y=10, P=70
  • X=8, Y=9, P=72

En todas ellas, menos en la tercera, hay más de una descomposición de P que resultaría en una de las S posibles (que ambos interlocutores han podido deducir del mismo modo). (Por ejemplo, P=30 es compatible con (X=2, Y=15, S=17) y con (X=5, Y=6, S=11)). Por tanto, la información de que Mrs. P ha encontrado sólo una solución compatible confirma a Mr. S que X=4, Y=13 y posibilita su anuncio final.

Con un poco más de trabajo, el lector puede verificar que la solución encontrada es la única que permite a Mr. S resolver también el problema. Por ejemplo, para S=11 existen dos posibilidades compatibles (X=3, Y=8, P=24; X=4, Y=7, P=28); si Mr. S encuentra sólo una solución, se descarta que  S sea igual a 11. Un razonamiento similar sirve para eliminar también el resto de alternativas.

(*) NOTA: El orden de la conversación se publicó invertido en La Vanguardia, imagino que por error. También, quizá, porque ni los redactores de La Contra ni los editores del diario se han interesado en exceso por conocer la solución del problema. Lo cual sirve también para ejemplificar la diferencia entre información y conocimiento.

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13 comentarios

Archivado bajo Sociedad

13 Respuestas a “La relatividad de la información: Un ejemplo

  1. ramon

    Magnifico ejemplo, de la diferencia entre información y conocimiento. En macroeconomica existe el mismo problema con el tema que comentaba hace un mes del prof.Urrutia (economía de la información) gran numero de indicadores, de informes, de información pero sin estructuración que derive en una suma de conocimientos que se interelacionen con pensamiento sistemico.

  2. Juan

    Para relativo la estadística matemática con sus resultados fruto de la abstracción, reúnan un grupo de personas y extraigan la media de su peso corporal. El resultado nos da una falacia inexistente, por mas que busquen ese peso en alguna singularidad del grupo, no lo encontraran. Ahora transpolen los resultados a cualquier área humana, política, académica, social. En base a una abstracción de un resultado inexistente se toman decisiones, puede parecer lo mas democrático y acertado. Pero si lo observamos desde el punto de vista de los prejuicios donde las etiquetas juegan un papel importante en nuestra relaciones, nos da como resultado todo tipo de barbaridades. El dios de la ciencia tiene su primer mandamiento “Amaras a las abstracciones matemáticas sobre todas las cosas”. Me declaro por tanto Ateo matemático, por considerar sus fieles seguidores por real a las abstracciones de informacion por encima del conocmiento de cada ser o cosa singular.

  3. Paco Angulo

    Para el sr. Juan:

    Considero su argumento altamente demagógico. La estadística es una gran ciencia, gracias a la cual mejora nuestra calidad de vidad, con todo lo que ello comporta.

    Los hospitales, la educación, el tráfico, la economía, las fábricas se rigen por datos estadísticos, y gracias a ellos son más eficientes. Y cómo todo lo humano, no significa que no sea manifiestamente mejorable.

    Pero usted ignora la gran aportación que significa la estadística con el argumento de que no puede penetrar la individualidad. Es que ése no es el propósito de esta disciplina; y en el caso particular que usted menciona, conocer el peso ´promedio de una población por ejemplo un conjunto de escolares, aportará valiosa información para el diseño de políticas que atajen a tiempo los trastornos alimentarios.

    Una última puntualización: Es cierto que el promedio, nos dice poco sobre un grupo de personas, para ello la estadística ha desarrollado poderosas herramientas de análisis, como las medidas de dispersión, las correlaciones, el análisis de la varianza, etc, de altísima utilidad a la hora de tomar decisiones que, a la postre, mejoran la vida de todos, incluida la de usted.

  4. Juan

    Señor Paco la demagogia posiblemente este en la interpretación del texto. Cuando hablas de hospitales, trafico, educación en general estas hablando de la sociedad que se rige por un modelo de medias y probabilidades, una ciencia racional exacta que ante su incapacidad de un trato mas humano y personal, de seres únicos y singulares se nutre de herramientas mas sofisticadas para acercarse a lo que es inalcanzable con abstracciones no existentes pero que se dispersan entre la población en base a tolerancias. La ciencia sea la que sea se salta el aspecto irracional, emocional y de sentimientos de las personas, pues sus herramientas carecen de ellos.
    Te puedo comprar lo de los avances en muchos campos, pero indudablemente eso no significa que otra mirada de la ciencia obtuviera mejores resultados a nivel individual del que tu también saldrías beneficiado. Tu eres un caso aislado tratado como una media y una probabilidad con una cierta tolerancia, por lo tanto ese beneficio aunque real no es el mejor ni por asomo. Digamos que prima el aplauso a la ciencia por ignorancia que trabaja con información parcial. Pero existen otras visiones amigo. Algo por otro lado vetado al monolítico pensamiento racional científico que nos llevara a una sociedad sana pero enferma de neurosis, donde todo se compra y se vende donde cada ser humano es un numero, un objeto. Esto incluso algunas personas le resulta chistoso y anecdótico, figurate lo sanos que estamos que piensan que nuestra sociedad es lo mejor que hay.

  5. Francesc

    Ricard,

    Con la cantidad de texto que has empleado para explicar la solución al problema planteado, queda muy claro que para un intercambio efectivo de la información debe haber un conocimiento previo (de tipo generalista y también especializado) por ambas partes (emisor y receptor de la información) del tema en cuestión de que se trate.

  6. Lo que estais planteando, es algo mucho mas profundo de lo que parece, es un debate acerca de la realidad de lo existente, del determinismo, del libre albedrio…es decir, las grandes cuestiones humanas de todos los tiempos.
    No se por que, casualidades de la vida, ayer me encontraba ensimismado pensando sobre estos temas.
    Ya no voy a lo que se dice mas arriba, voy a algo mas profundo si cabe. De que le sirve al que tiene una enfermedad de las catalogadas como raras (menos del 1% de la poblacion) saber que su enfermedad la padece un reducido numero de personas?. Al que le toca la loteria (cosa que nos dicen, es muy improbable) compra el boleto pensando en su posibilidad real de ganar?
    Podriamos extender los ejemplos hasta el infinito, pero no llegariamos a resolver el problema, que yo creo que no es mas que otra forma de la cuestion “determinismo vs libre albedrio”.

    Saludos.

  7. Donde dije “posibilidad real de ganar”, tal vez seria mas correcto haber dicho “posibilidad estadistica”.
    Los terminos son tan difusos que salto de unos a otros casi inconscientemente.

  8. pilar

    Muy bueno el problema y bueno también el tirón de orejas a los de la contra.

  9. Pingback: Información – Conocimiento = ¿Desinformación? « ruizdequerol

  10. Antoni

    Tengo mucho interés en tener más información sobre el problema aparecido en La Vanguardia puesto que no acabo de entender la solución y no he encontrado nada más en la red.
    Alguien me la puede facilitat?
    Muchas gracias

  11. Antoni

    Muchísimas gracias por la información adicional.
    Ahora lo comprendo. El error de mi enfoque era tratar de determinar la solución que había hallado el Sr. P y a continuación la del Sr. S. En realidad se debe tratar como un todo y no como dos partes diferenciadas.
    A mi entender el enunciado debería especificar que se trata de dos números x e y enteros positivos menores que 100 “y mayores que 1” tal como aparece en la información adicional.
    Gracias de nuevo

  12. Gustavo

    No soy matemático, pero me encantan los acertijos, y cuando leí el problema en La Vanguardia creo que encontré una solución válida mucho más fácil que todos los comentarios y links adjuntos, aunque la explicación se me hace complicada…
    Mi solución es que los dos números entre el 1 y el 100 son un 2 y otro 2, ya que de esta forma el enunciado del problema tiene sentido….

    Yendo por pasos…

    – A Mr.S la suma le da 4, y dice que “yo no los puedo saber” porqué pueden ser el 1 y el 3 o bien un 2 y un 2.

    – A Mr.P el producto le da 4, y por tanto sabe que los números serán el 1 y el 4 o el 2 y el 2.
    Por tanto Mr.P sabe que S será 4(2+2) o bien 5(1+4).
    Tanto si S es 4, como si es 5, S no sabrá los dos números, ya que si S es 4 tiene dos combinaciones (2+2 o 3+1) y si S es 5 tiene también dos combinaciones (1+4 y 2+3). Conclusión: P puede decir a S “ya se que no los puedes saber”

    – Mr S descarta en este momento la opción de los números 1 y 3, ya que eso daría a P un resultado de 3(1×3), y si Mr.P tuviera este resultado, Mr.P no podría decir a Mr.S que ya sabe que S no los puede saber, ya que S si los sabría (para S solo habría la opción de un 1 y un 2)

    – Cuando Mr.S ya sabe que son un 2 y un 2, y dice a Mr.P “ahora ya los se”, Mr.P descarta el 1 y el 4 porqué con la suma de 5, Mr.S no podría haber descartado ninguna de las dos posibles opciones (2+3 o 4+1) cuando Mr.P le hubiera dicho “ya se que no los puedes saber”…

    Saludos a todos y encantado de recibir comentarios…

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