Archivo diario: septiembre 6, 2009

La relatividad de la información: Un ejemplo

blog_090906En una entrevista en La Contra de La Vanguardia, Jaume Pagés propone un problema que ilustra, muy bien para mi particular gusto, lo poca utilidad de intercambiar información cuando hay carencias de conocimiento.

El enunciado del problema, un clásico publicado hacia 1969, es el siguiente (*):

«Dos matemáticos, Mr. S y Mrs. P, quieren averiguar dos números enteros positivos menores que 100 de los que S sabe la suma y P el producto. Mrs. P le dice a Mr. S: «Yo no los puedo saber»; Mr. S responde: «Ya sé que no los puedes saber»; Mrs. P contesta entonces: «¡Ah!, pues ahora ya los sé», tras lo que Mr. S concluye: «Pues ahora yo también».

La clave de la cuestión es que los dos matemáticos intercambian en su diálogo mucha más información de la que parece; pero es una información que sólo sirve a los que, como ellos, tienen un mínimo conocimiento de Matemáticas.

La primera clave está en la afirmación de Mr. S («Ya sé que no los puedes saber«). El único modo en que Mrs. P podría averiguar de entrada los dos números (X e Y tales que P=X*Y) sería si ambos fueran primos. La información que Mr. S le transmite es que en ninguna de las combinaciones que satisfacen S=X+Y son X e Y primos.

Con esta información, y conociendo la conjetura de Golblach (que afirma que todo número par puede descomponerse en la suma de dos números primos), Mrs. P deduce:

  • Que S es un número impar.
  • Que no existe ningún número primo Z tal que S=Z+2 (porque 2 es también un número primo).

Lo cual le sirve para deducir la lista de posibles S: (S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, …).

A partir de ahí, el modo más corto de hacer verosímil el diálogo es anticipar la información de la que dispone cada interlocutor. Como Mrs. P sabe que el producto de X e Y es igual a 52, deduce que sólo hay dos posibilidades válidas (X=2, Y=26, S= 28; X=4, Y=13, S=17). Sólo la primera es compatible con las deducciones anteriores, por lo que está en condiciones de anunciar a S que ya tiene la solución.

Mr. S, que conoce que la suma de X e Y es igual a 17, hace una lista de posibilidades:

  • X=2, Y=15, P=30
  • X=3, Y=14, P=42
  • X=4, Y=13, P=52
  • X=5, Y=12, P=60
  • X=6, Y=11, P=66
  • X=7, Y=10, P=70
  • X=8, Y=9, P=72

En todas ellas, menos en la tercera, hay más de una descomposición de P que resultaría en una de las S posibles (que ambos interlocutores han podido deducir del mismo modo). (Por ejemplo, P=30 es compatible con (X=2, Y=15, S=17) y con (X=5, Y=6, S=11)). Por tanto, la información de que Mrs. P ha encontrado sólo una solución compatible confirma a Mr. S que X=4, Y=13 y posibilita su anuncio final.

Con un poco más de trabajo, el lector puede verificar que la solución encontrada es la única que permite a Mr. S resolver también el problema. Por ejemplo, para S=11 existen dos posibilidades compatibles (X=3, Y=8, P=24; X=4, Y=7, P=28); si Mr. S encuentra sólo una solución, se descarta que  S sea igual a 11. Un razonamiento similar sirve para eliminar también el resto de alternativas.

(*) NOTA: El orden de la conversación se publicó invertido en La Vanguardia, imagino que por error. También, quizá, porque ni los redactores de La Contra ni los editores del diario se han interesado en exceso por conocer la solución del problema. Lo cual sirve también para ejemplificar la diferencia entre información y conocimiento.

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